خواص التكامل المحدد

خواص التكامل المحدد

خواص التكامل المحدد

من خواص التكامل المحدد[١][٢]:

  • المتغيرات هي الحروف التي تستخدم للتعبير عن المعادلة، ولا تؤثر في نتيجة التكامل، أي أنه مهما غيرنا الرموز للمعادلة نفسها تبقى نتيجة التكامل كما هي، مثلًا في هذه المعادلة: إذا استبدلنا المتغير X بالمتغير f فإن التغيير في الرموز لا يؤثر على النتيجة النهائية، لكن مطلوب تحديد الرموز لكل معادلة حتى لا يحصل تشتت في الحل.
  • حدي التكامل إذا كان لهما نفس القيمة فإن نتيجة التكامل تساوي صفرًا، مثلًا في أي المعادلة إذا كانت الحد الأول a يساوي قيمة الحد الثاني b، فإن نتيجة التكامل تساوي صفر.
  • عملية التكامل المحدد تتوزع فقط على عملية الجمع وعملية الطرح.
  • تغيير موقع التكاملات يؤدي إلى تغيير إشارتها.
  • العدد الثابت إن وجد في عملية التكامل يخرج من التكامل على أنه عامل مشترك.


تعريف التكامل المحدد

التكامل هو أحد تطبيقات علم الرياضيات، ويقسم التكامل إلى قسمين هما التكامل المحدد والتكامل غير المحدد، ويعد التكامل المحدد العملية العكسية للاشتقاق، وقبل تعريفه رياضيًا يجب معرفة دلالة الرموز التالية:

  • f(x): المشتقة (الدالة) التي نريد أن نجري تكامل لها.
  • F(x): يرمز لتكامل الدالة أو المعادلة.
  • [a-b]: الفترة أو المجال المحدد الذي نريد إجراء التكامل لها.
  • ∫: رمز عملية التكامل.


إذًا يرمز للتكامل المحدود (المحصور ببداية ونهاية) للمشتقة f(x) المعطاة ضمن المجال [a-b]، ومن هنا نعرف التكامل المحدد رياضيًا بالصيغة الآتية:

  abʃf(x)dx


وهذه الصيغة الرئيسية المطبقة على جميع المشتقات الرياضية المراد إجراء تكامل محدد لها[٣]، أما عن تعريف التكامل المحدد فهو المساحة الواقعة تحت المنحني f(x) وفوق المحور السيني والمحددة بالمستقيمين المتوازيين x=b ،x=a [٤].


تطبيقات التكامل المحدد

يعد التكامل المحدد أداة تساعد في فهم ظواهر حياة الواقعية وتمثيلها، وتظهر أهميته في العديد من المجالات منها[٥][٤]:

  • يدخل التكامل المحدد في مجال الرياضيات البحتة، وتكمن أهميته في حساب طول قوس الدالة وحجوم الأجسام الدورانية والمساحات المستوية، هذا إلى جانب إيجاد المراكز المتوسطة للأشكال.
  • يحتل التكامل المحدد في مجالي الهندسة والميكانيك أهمية خاصة للغاية، حيث تبرز أهميته في حساب مساحات السطوح المستوية المرسومة على المستوى الديكارتي، بالإضافة إلى حساب مسائل الأجسام المتحركة.
  • يطبق التكامل المحدد في مجال الفيزياء، مثال ذلك إيجاد كتلة الجسم أو الضغط أو الشغل المبذول الذي يؤثِّر على جسم ما، بالإضافة إلى عزم القصور الذاتي للأجسام الدورانية الصلبة وحساب ضغط السوائل، كما يُستخدم في حساب سرعة جزيئات الغازات أيضًا.

المراجع

  1. الجامعة الأندلسية، التكامل المحدد، صفحة 2. بتصرّف.
  2. "خواص التكامل المحدد "، نجوى، اطّلع عليه بتاريخ 25/1/2021. بتصرّف.
  3. الجامعة الأندلسية السورية، التكامل المحدد، صفحة 1. بتصرّف.
  4. ^ أ ب فؤاد حمزة عبد الشريفي (9/1/2015)، "التكامل المحدد وتطبيقاته"، جامعة بابل، اطّلع عليه بتاريخ 25/1/2021. بتصرّف.
  5. جامعة الشام الخاصة، التكامل المحدود، صفحة 4-6. بتصرّف.
463 مشاهدة