خواص اللوغاريتمات

بواسطة: - آخر تحديث: ٢٠:٠٩ ، ٢١ مايو ٢٠١٨
خواص اللوغاريتمات

 

بواسطة أمل طه

اللوغاريتمات هي علم وموضوع أساسي في علوم الرّياضيات، حيث يُستخدم لحل المسائل الرياضية المعقدة والتي تعتمد على التّكرار إذ يُحوّل الضرب والقسمة إلى عمليّات جمع وطرح بالاعتماد على جداول خاصّة تسمّى جداول اللوغاريتمات، وقد ظهر هذا العلم حديثًا  في القرن السّابع عشر على يد العالم جون نايبير حيث نشر أول جدول للوغاريتمات في عام 1614م وقد كان هذا الجدول يتكوّن من 14 خانةً وكانت تعرف باللوغاريتمات العشرية أي إنّها تعتمد على الأساس 10، ثم حاول العلماء إيجاد جداول لوغارتمية أخرى بأسس مختلفة لتسهيل العمليّات الحسابية واستخدامها في العلوم المختلفة، مثل: علم الحاسوب وغيرها إلا أنّ اللوغاريتمات لم تعد تُستخدم بكثرة في وقتنا الحالي بل تُدرس نظريًا فقط  بسبب انتشار الحواسيب التي تعتمد في برمجتها على خواص اللوغاريتمات.

 

شرح مبسط لخواص اللوغاريتمات

كما ذكرنا فخواص اللوغاريتمات موضوع نظري لإجراء العمليات الحسابية المختلفة حيث يعتمد على قواعد وخواص معينة لحل المسائل، ومن هذه الخواص:

  • إذا أردت حساب 4×4×4 فيمكنك كتابتها على صورة 4^3=64 وهي عبارة عن 4 أوس 3 أي تكرار العدد 4 ثلاث مرات أما في صورة اللوغاريتمات فتكتب بصورة لو4 (64) =3 أي لو64 للأساس 4 يساوي 3.
  • تُحسب اللوغاريتمات بطريقة حساب الأسس نفسها وباستخدام الخواص نفسه فعند ضرب عددين متساويين في الأساس فإنّه يجمع الأسس كما أنّه في حالة قسمة عددين متساويين في الأساس فإنّه يطرح الأسس مثال:
    1. س^ص × س^ن=س^ص+ن، وكذلك الأمر في حال اللوغاريتمات فعند حساب لوغ (س) ص × ن نستخدم الخاصية نفسها فيكون الناتج لوغ (س) ص+ لوغ (س) ن
    2. س^5÷س^2=س^5-2=س^3، وبحسب خواص اللوغاريتمات فإنّ

لوغ س(ص/ن) =لوغ س (ص)-لوغ س(ن)

 

  • في حال رفع العدد أو الأسس لأس معيّن ثم رفع المقدار كامل لأس فإنّه يوضع الأساس ثمّ ضرب الأسس مثال:

(س^2)^4= س^2×4=س^8.

 

  • أي عدد مرفوع للأس 0 فإنه يساوي واحد مثل س^0=1 وبطريقة اللوغاريتمات تكتب لوس(1)=0 .
  • إذا كان الأساس صفر والأس 0 فالعدد قيمة غير معرفة.
  • لوغاريتم العدد لنفس العدد=1 لوس (س) =1
  • إذا كان العدد مرفوعًا لقوة يضرب القوة باللوغاريتم مثال لو س (ص)^ن= ن×لو س(ص)

 

أنواع اللوغاريتمات

تنقسم اللوغريتمات عادةً لعدة أنواع حيث يتم إعتماد الأساس لتقسيمها وهذه الأنواع هي:

  • اللوغاريتمات الطبيعية وهذه اللوغاريتمات يكون أساسها e وهو عدد قيمته التقريبة 2.2 ويسمى العدد النيبيري.
  • اللوغاريتمات العشرية وهي اللوغاريتم للعدد10 حيث تكتب دون الأساس فالمقصود ب لو100=2 أن 10^2=100، وهذا النوع من اللوغريتمات هو الأكثر استخداماً حيث يستخدم في الهندسة وفي النهايات وتطبيقات التكامل والتفاضل.
  • اللوغاريتم الثنائي: هو اللوغاريتم للأساس 2 ويستخدم هذا النوع من اللوغاريتمات في علوم الحاسوب بصورة كبيرة وفي الأنظمة الثنائية.
  • لوغاريتمات عادية: وهي اللوغاريتمات للأعداد العادية من 1-10 ويتم هنا كتابة الأساس بالصورة التالية لو2(8)=3.
  • لوغاريتمات مركبة: وهي لوغاريتمات للأعداد المركبة مثل لو12(144)=2.

 

استخدامات اللوغاريتمات

تستخدم اللوغاريتمات في وقتنا الحالي في بعض العلوم النظرية حيث يتم استخدام جداول خاصة تسمى الجداول اللوغاريتمية لإيجاد القيم المختلفة ويتم استخدام هذه الجداول بعدة طرق وحالات هي:

  • الضرب: لضرب رقمين باستخدام خواص اللوغاريتمات اتّبع الخطوات التالية:
  1. ابحث عن لوغاريتم الرّقم الأول.
  2. ثم ابحث عن لوغاريتم الرّقم الثاني عن طريق جداول اللوغاريتمات.
  3. ثم اجمع النواتج للرقمين.
  4. أخيرًا جد اللوغاريتم للناتج والذي يكون حاصل ضرب الرَّقمين الأصليين.
  • القسمة: يمكن أيضًا إيجاد حاصل قسمة الرّقم الأول على الرّقم الثاني باستخدام خواص اللوغاريتمات عن طريق اتّباع الخطوات التالية:
  1. ابحث عن لوغاريتم العدد الأول (البسط أو المقسوم).
  2. ابحث عن لوجاريتم العدد الثاني (المقام أو المقسوم عليه).
  3. اطرح لوغاريتم العدد الثاني من لوغاريتم العدد الأول (لوغاريتم المقام – لوغاريتم البسط).
  4. جد لوغاريتم حاصل الطرح باستخدام جداول اللوغاريتمات.

 

  • إيجاد الأس: أيضًا يمكن معرفة ناتج رفع رقم لقوة معينة عن طريق خواص اللوغاريتمات بالطريقة التالية:
  1. ابحث في جدول اللوغريتمات عن قيمة الرقم.
  2. اضرب قيمة اللوغاريتم في الأس الذي سنرفع الرقم له.
  3. ثم ابحث في جدول اللوغاريتمات عن اللوغاريتم لحاصل الضرب.

 

  • إيجاد الجذر: يمكنك استخدام خواص اللوغاريتمات لإيجاد قيمة الجذر لرقم معين بالطريقة التالية:
  1. لمعرفة الجذر لرقم معين ابحث عن لوغاريتم هذا الرقم في جدول اللوغاريتمات.
  2. اقسم الرقم على أس الجذر.

ثم ابحث عن الرّقم الذي يكون اللوغاريتم له يساوي حاصل القسمة..