خواص اللوغاريتمات

اللوغاريتمات

تُعرف اللوغاريتمات بأنها الأس الذي يشير إلى القوة التي يرفع بها الرقم الأساسي لإنتاج رقم معين، فعلى سبيل المثال الرقم 2 عندما يكون مرفوعًا إلى الأُس 3 ينتُج في النهاية الرقم 8، ويُعبّر عن ذلك من خلال مُعادلة أُسية جوابها هو الرقم 8، كالآتي؛ 2³=8، وعند السؤال عن الرقم الذي رُفع إليه الرقم 2 ليكون الناتج 8 عندها نستخدم اللوغاريتمات، وتكون المُعادلة اللوغاريتمية كالآتي؛ لو₂(8)=3، أي أن الرقم 2 هو الأساس، والرقم 3 هو الأُس، والجواب الوحيد هو 8، والذي نتج عن ضرب العدد 2 بنفسه 3 مرات؛ إذ إن الإجابة للمُعادلة اللوغاريتمية هي الرقم 3 الذي يُمثل عدد المرات التي يُضرب بها الرقم 2 بنفسه، ليكون الناتج 8^[١].

ويُعد تعلّم اللوغاريتمات واستخدامها من الأمور التي يجدها طُلاب المدارس والجامعات صعبة؛ إذ إنّهم يلجؤون إلى حفظ القواعد دون فهمها تمامًا، كما أنّهم أحيانًا ينجحون في الامتحانات دون فهم اللوغاريتمات؛ إلا أن هذا النجاح لا يستمر عند انتقالهم إلى مُستوىً أكثر صُعوبة؛ وذلك لأنّهم لم يتمكّنوا من فهم الأساسيات الخاصة باللوغاريتمات^[٢].

خصائص اللوغاريتمات

اعتمد العُلماء على اللوغاريتمات نظرًا لخصائصها العديدة والمُفيدة في تسهيل إجراء العمليات الحسابية بدلًا من الحسابات الطويلة والمُملة؛ إذ يُمكن تبسيط حساب الجذور، والأُسس باستخدام اللوغاريتمات، فضلًا عن تحويل اللوغاريتمات بين الأساسات الموجبة، وغيرها الكثير من العمليات الحسابية المُهمة، ومن أهم خصائص اللوغاريتمات ما يلي^[١]:

• القسمة: تُحل مسائل القسمة في اللوغاريتمات من خلال تحويل مسائل القسمة لمسائل طرح، فعلى سبيل المثال لو (س/ص)= لو س-لو ص، وفقًا للمثال السابق حولنا عملية القسمة إلى عملية طرح، ثُم نجد قيمة كُل لوغاريتم بصورة مُنفصلة، ثمّ نطرح القيم الناتجة لنجد ناتج لو(س/ص)، إلا أنّه من المفترض التركيز على أساس اللوغاريتم نفسه في جميع الحالات.
• الضرب: يُعبّر عن علاقة الضرب عن طريق اللوغاريتمات الشائعة بالمُعادلة التالية؛ لو _{س ص}= لو_س+لو_ص، فعلى سبيل المثل يُمكن أن يحسب لو(1000×100) من خلال تحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، وتُطبّق على المثال السابق كالآتي؛ لو (100×1000)= لو100+لو1000، ثُمّ إيجاد لوغاريتم العدد 100 الذي يُساوي 2، ثُمّ يجب إيجاد لوغاريتم العدد 1000 الذي يُساوي 3، ثُمّ تُجمع النواتج معًا، وبالتالي فإن لو (100× 1000)= لو100+لو1000= 2+3، والذي يُساوي العدد 5.
• لوغاريتم الأساس نفسه: يكون ناتج اللوغاريتم للأساس نفسه هو العدد 1؛ إذ إنّ لو _س س=1.
• لوغاريتم الرقم 1: يكون ناتج لوغاريتم الرقم 1 لأي أساس هو 0، لو1=0.
• الأسس: يُمكن حل المُعادلة التالية لو س²، من خلال ضرب اللوغاريتم بالعدد الذي رُفع إليه العدد داخل اللوغاريتم، ثم إيجاد الناتج النهائي، لتُصبح المُعادلة على الشكل التالي، لو س²= 2×لوس.

تاريخ اللوغاريتمات

اختُرع اللوغاريتم من قِبل السويسري جوست بورغي، والأسكتلندي جون نابير، وتختلف اللوغاريتمات التي اخترعها كُل منهما عن الأخرى، كما أنّها تختلف عن اللوغاريتمات الطبيعية، والشائعة المُستخدمة في الوقت الحاضر، ونُشرت لوغاريتمات نابير في عام 1614 ميلادي، وكانت لوغاريتمات نابير تأخذ المُنحنى الجبري، إذ إنّه عرّف اللوغاريتمات بأنّها نسبة مسافتين في شكل هندسي، وذلك على العكس من التعريف الحالي للوغاريتمات الذي يدل على أنّها دالة عكسية للدالة الأسية، وتعريف اللوغاريتمات بهذه الطريقة يعود إلى كل من جون واليس في عام 1685 ميلادي، ويوهان برنولي عام 1694 ميلادي، بينما لوغاريتمات بروغي نُشرت بعد أربع سنوات من لوغاريتمات نابير أي في عام 1620 ميلادي، والتي كانت تأخُذ المُنحني الهندسي، وكان هدف كُل من نابير، وبروغي تبسيط العمليات الحسابية الرياضية؛ إذ إنّ اختراع اللوغاريتمات كانت نتيجة العمل المُشترك الذي قام به كُل من نابير، وهنري بريجز في عام 1624 ميلادي، إذ إنّ نابير عدّل اكتشافاته الأولى للوغاريتمات، ثُم نشأت اللوغاريتمات الطبيعية التي نعرفها الآن، وظهرت اللوغاريتمات الطبيعية لأول مرة في عام 1618 ميلادي، ورغم ذلك لم تكُن أهميتها الحقيقة معروفةً إلا في وقت لاحق^[٢].

تغيرت اللوغاريتمات بعدة طُرق حتى وصلت إلى وقتنا الحالي، فرغم أنّ اللوغاريتمات وُجدت أساسًا لتسهيل الحساب؛ إلا أنّها تُعد من الأفكار الهامة التي وجهت انتباه عُلماء الرياضيات والجبر نحو مفاهيم تنظيمية أوسع، ويُفهم اللوغاريتم في الوقت الحالي أنّه دالة تختلف تمامًا في العديد من النواحي عن طريقة تصوره في الأصل، ونهايةً تطور علم اللوغاريتمات من خلال عمل، وتحليل عُلماء الرياضيات، وتوسّع استخدامه لأكثر من مُجرد وسيلة لحساب الأعداد الكبيرة غير العملية، وتعدّى ذلك ليُصبح علاقةً رياضيةً وظيفيةً بحد ذاتها، وأصبح له وجود في الكثير من فروع الرياضيات الحديثة، مثل الاقترانات، وحساب التفاضل والتكامُل، ويُعد أساسًا للعديد من الأمور^[٣].

استخدامات اللوغاريتمات

استخدامات اللوغاريتمات في الجيولوجيا

تُستخدم اللوغاريتمات لمناقشة العديد من المفاهيم الخاصة بالكيمياء، والإحصاء، والأحياء، والفيزياء، ولا يقتصر استخدامها فقط على الرياضيات؛ إذ إنّ اللوغاريتمات استُخدمت لحل العديد من المشاكل الموجودة، واستخدم الرياضيون اللوغاريتمات لحل المشاكل الخاصة بمسائل القسمة، والضرب، وذلك من خلال تحويلها إلى مسائل بسيطة من طرح، وجمع، وكان ذلك قديمًا قبل اختراع الآلة الحاسبة، أما في الوقت الحاضر فإنّ اللوغاريتمات تُستخدم في علم الرياضيات والجبر لحل المُعادلات الأُسية، والأرقام الكبيرة جدًا للحصول على نتائج دقيقة، ومن التطبيقات التي يُستخدم فيها علم اللوغاريتمات في الظروف الجيولوجية المُختلفة ما يأتي^[٤]:

• يستخدم الجيولوجيون علم اللوغاريتمات في مقياس ريختر.
• يُستخدم في تقدير تأريخ الترسُبات، والمواد المُشعة، وتحديد أحجام الحبوب.
• يُستخدم علم اللوغاريتمات لقياس مدى تغيُّر نسبة ثاني أُكسيد الكربون في غلاف الأتموسفير.
• تُستخدم اللوغاريتمات لتقدير البيانات في السجلات التي يُحصل عليها من قياسات حجم الزلزال.

استخدامات اللوغاريتمات في الكمبيوتر

ويدخُل علم اللوغاريتمات في أجهزة الكمبيوتر؛ إذ إنّ المبرمجين يستخدمون علم اللوغاريتمات لأنّه يُبسط الحسابات الرياضية المُعقدة، ويستخدمه المطورون في صيغ وظائف الحاسوب؛ لإنشاء نتائج مُحددة للبرامج، مثل برامج الرسوم البيانية التي تُستخدم لمُقارنة البيانات الإحصائية، ومن تطبيقات علم اللوغاريتمات في الكمبيوتر استخدام المُبرمجين؛ لتقصير عمليات برمجة الكمبيوتر كما يأتي^[٥]:

• تطوير التطبيقات: يُستخدم علم اللوغاريتمات في تطوير تطبيقات الهندسة، والأعمال، والعلوم ولغات البرمجة مثل لغة C++؛ لتعريف مُدخلات الأرقام في العمليات الحسابية؛ فعلى سبيل المثال استخدم log10 في تطوير مُنتجات مايكروسوفت ويندوز.
• التشفير: تُعد اللوغاريتمات المُنفصلة جُزءًا مهمًا في عملية إنشاء أنظمة تشفير فعّالة للكمبيوتر؛ إذ إنّ الطبيعة المُتغيرة لعمليات تبادل المفاتيح الرقمية في صيغ مُعينة تُتيح لخُبراء التشفير تطوير أنظمة أمان للحاسوب التي تُقيّد وصول المُستخدم.
• تصوير الكمبيوتر: يُساعد علم اللوغاريتمات أجهزة الحاسوب في تنظيم الألوان، والتعامُل مع الصور لتحسينها، أو دمجها، أو مُقارنتها، وذلك بعد إنشاء صورة رقمية؛ إذ إنّ المعلومات المُصورة تُحول إلى بكسل، والبكسل هي قطع صغيرة من اللون.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Logarithm", britannica, Retrieved 29-12-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "A REVIEW OF LOGARITHMS", sosmath, Retrieved 29-12-2019. Edited.
3. ↑ "Logarithms: The Early History of a Familiar Function - Conclusion", maa, Retrieved 29-12-2019. Edited.
4. ↑ "What Are Logarithms? When Do We Use Them?", mathworksheetscenter, Retrieved 29-12-2019. Edited.
5. ↑ "Uses of Logarithms in Computers", techwalla, Retrieved 29-12-2019. Edited.