ماذا تعرف عن المضلعات

تعريف المضلعات

المضلعات هي أشكال هندسية مغلقة تتكون من عدد محدود من القطع المستقيمة التي تلتقي في نقاط تُسمى الرؤوس، مثل المثلث والمربع والمستطيل، ويرجع أصل كلمة المضلع (polygon) إلى الإغريق كمعظم المصطلحات الهندسية الأخرى التي اخترعوها، وهي كلمة مركبة تعني العديد من الزوايا؛ إذ تتكون من كلمة (poly) وتعني العديد، وكلمة (gon) وتعني الزوايا، كما أنّ المضلعات لا تحتوي على منحنيات أو فجوات أو فتحات فيها، وتعتمد تسمية المضلع على عدد القطع المستقيمة التي يتكون منها، وعلى سبيل المثال المضلع الذي يتكون من خمس أضلاع يُسمى مضلعًا خماسيًا، والذي يتكون من ثمان أضلاع يُسمى مضلعًا ثمانيًا^[١][٢].

أنواع المضلعات

تتعدّد الأنواع والأشكال الهندسية للمضلعات تبعًا لصفات الجوانب والزوايا التي تتكون منها، ونذكر أدناه أنواع المضلعات المختلفة، وهي^[٢]:

• المضلعات المنتظمة: وهي المضلعات التي تتساوى فيها جميع الجوانب والزوايا الداخلية، والجدير بالذكر أن المضلعات المنتظمة هي مضلعات محدبة دائمًا.
• المضلعات غير المنتظمة: تُعدّ عكس المضلعات المنتظمة؛ إذ يُمكن أن تختلف أطوال جوانبها أو قياسات زوايها الداخلية.
• المضلعات المحدبة: وهي المضلعات التي تكون جميع قياس زواياها الداخلية أقل من 180 درجة، وتُشير جميع رؤسها إلى الخارج بعيدًا عن الجزء الداخلي للمضلع.
• المضلعات المقعرة: تُعدّ عكس المضلعات المحدبة؛ إذ إنّها المضلعات التي تكون قياس إحدى زوايها الداخلية أو أكثر أعلى من 180 درجة، وتُشير أحدى رؤوسها نحو الجزء الداخلي من المضلع.
• المضلعات البسيطة: وهي المضلعات التي تكون حدودها واضحة دون أن تتقاطع جوانبها مكونة مضلعات أصغر.
• المضلعات المعقدة أو المتقاطعة: وتُعدّ عكس المضلعات البسيطة؛ إذ يتقاطع أحد جوانبها مع جانب آخر مكونًا قطعًا صغيرة من مضلعات أخرى، ولا ينطبق على هذا النوع أي من خصائص أو نظريات المضلعات المعروفة.

خصائص المضلعات

تتعدد خصائص المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة، ونذكر أدناه خصائص المضلعات والقوانين المتعلقة بها بالتفصيل، ومنها:

الزوايا الداخلية للمضلع

تُعرف الزوايا الداخلية بأنها الزوايا الموجودة في داخل المضلع، والتي تتكون من التقاء زوج من الأضلاع المتجاورة، وهي قياس الزاوية الداخلية لرأس المضلع، إذ إنّ لكل مضلع عدد من الجوانب مساوٍ لعدد الرؤوس وعدد الزوايا الداخلية له، وتتساوى الزوايا الداخلية في المضلعات المنتظمة بينما تختلف في المضلعات غير المنتظمة، وفيما يلي نذكر كيفية حساب الزوايا الداخلية للمضلعات^[٣]:

• مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات: يعتمد مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات على عدد الجوانب التي تتكون منها بغض النظر عن نوعها سواءً منتظمةً أم لا أو محدبةً أو مقعرةً، وعن شكلها وحجمها أيضًا، ويُمكن حساب مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع باستخدام القانون التالي (مجموع الزوايا الداخلية=180*(ن-2))؛ إذ يُعبّر الحرف (ن) عن عدد الأضلاع للمضلع، وعلى سبيل المثال المربع يتكون من أربع أضلاع بالتالي يكون مجموع الزوايا الداخلية من خلال التعويض بالقانون 360 درجة، أما المضلع الخماسي فمجموع الزوايا الداخلية له 540 درجة.
• قياس الزاوية الداخلية في المضلعات المنتظمة: بالنسبة للمضلعات المنتظمة فإن مجموع الزوايا الداخلية يتوزع بالتساوي على عدد الزوايا المكونة للمضلع، ويكون حسابها وفق القانون التالي (قياس الزاوية الداخلية=180*(ن-2)/ن)؛ إذ يُمثّل الحرف (ن) عدد الأضلاع للمضلع، وعلى سبيل المثال المضلع الخماسي يتكون من خمسة أضلاع وبالتالي يمتلك خمس زوايا داخلية، ويكون قياس كل زاوية داخلية هو مجموع تلك الزوايا مقسومة على عددها، أي 540 درجة مقسومة على العدد 5 ويساوي 108 درجة لكل زاوية.
• الزوايا المتجاورة: تُعرف الزوايا المتجاورة للمضلع بالزوايا التي تشترك في جانب واحد في المضلع.

الزوايا الخارجية للمضلع

تُعرف الزواية الخارجية لمضلع بأنها الزاوية المحصورة بين أحد جوانب المضلع وامتداد الجانب المجاور له، وتتساوى قياس الزوايا الخارجية في المضلعات المنتظمة، إذ تُحسب من خلال تقسيم العدد 360 على عدد الجوانب المكونة للمضلع، وعلى سبيل المثال قياس الزوايا الخارجية للمضلع السداسي هي 360/6 وتساوي 60 درجة لكل زاوية^[٤].

قطر المضلع

يُعرف قطر المضلع بأنه القطعة المستقيمة الواصلة بين رأسيين غير متجاوريين، ويُمكن حساب عدد الأقطار لكل رأس في المضلعات المنتظمة وفقًا للصيغة التالية (ن-3)؛ إذ يُمثّل الحرف (ن) عدد الأضلاع للمضلع، وعلى سبيل المثال يمكن تكوين قطرين من كل رأس في المضلع الخماسي، وأما العدد الكلي للأقطار الفعلية فيحسب وفقًا للصيغة التالية (عدد الأقطار=ن*(ن-3)/2)؛ إذ إنّ عدد الاقطار الفعلية للمضلع الخماسي بالتعويض في القانون هو 5 أقطار، وعدد الأقطار الفعلية للمضلع السداسي هو 9 أقطار^[٥].

مساحة المضلع

تُعرف مساحة المضلع بأنها المساحة الداخلية التي شكلتها جوانب المضلع، وتُقاس المساحة دائمًا بوحدات مربعة، مثل متر مربع أو سم مربع، ولحساب مساحة المضلعات المنتظمة يجب معرفة طول الجانب الواحد في المضلع بالإضافة إلى عددها، ويُمكن حساب المساحة وفقًا للقانون التالي: (مساحة الشكل المنتظم= (عدد أضلاع المضلع*طول الضلع الواحد*المسافة العامودية من أحد أضلاع المضلع إلى مركزه)/2)، ويُقصد بالمركز هنا مركز الدائرة المماسية الداخلية للمضلع، وبصيغة أخرى مساحة المضلع المنتظم هي مساحة أحد المثلثات متساوية الساقين التي يصنعها المضلع مضروبة في عدد أضلاعه^[٦].

محيط المضلع

ويُعرف محيط المضلع بأنه إجمالي المسافة الخارجية حول المضلع، ويُمكن حسابها بايجاد مجموع أطوال أضلاع المضلع، على سبيل المثال محيط المضلع الرباعي الذي أطوال أضلاعه (12،6،9،8)سم، هو مجموع هذه الأطوال ويساوي 35 سم، ويُمكن حساب محيط المضلعات المنتظمة إذ إنّها تتكون من أطوال أضلاع متساوية من خلال الصيغة التالية (محيط المضلع المنتظم= ن*طول أحد الأضلاع)؛ إذ يُمثّل الحرف (ن) عدد الأضلاع للمضلع، وعلى سبيل المثال محيط المضلع الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه 5 سم يساوي 25 سم وفقًا للقانون أعلاه^[٧].

خصائص المضلعات المنتظمة

توجد بعض الخصائص التي تميز المضلعات المنتظمة عن غيرها من أنواع المضلعات الأخرى، ونذكر منها ما يلي^[٢]:

• الخط العامد على المضلع (Apothem): إذ يُعرف أيضًا بنصف قطر الدائرة المماسية الداخلية للمضلع، وهو المسافة العامودية من أحد جوانب المضلع إلى مركز الدائرة المماسية الداخلية.
• نصف قطر المضلع أو نصف قطر الدائرة المحيطية: وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز الدائرة المحيطية للمضلع وأحد رؤوسه.
• الدائرة الداخلية للمضلع: إذ تُعرف بأنها أكبر دائرة تتناسب مع الأضلاع الداخلية للمضلع، وتمس كل جانب من جوانبه، ويُسمى نصف قطرها بالعامد على المضلع المنتظم (Apothem).
• الدائرة المحيطية: إذ تُعرف الدائرة المحيطية بأنها الدائرة التي تمس جميع رؤوس المضلع، ويُسمى نصف قطرها بنصف قطر المضلع.

المراجع

1. ↑ "polygon", vocabulary, Retrieved 15-12-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Polygon", mathopenref, Retrieved 15-12-2019. Edited.
3. ↑ "Interior Angles of a Polygon", mathopenref, Retrieved 15-12-2019. Edited.
4. ↑ "Exterior Angles of a Polygon", mathopenref, Retrieved 15-12-2019. Edited.
5. ↑ "Diagonals of a Polygon", mathopenref, Retrieved 15-12-2019. Edited.
6. ↑ "How to Find the Area of Regular Polygons", tutors, Retrieved 15-12-2019. Edited.
7. ↑ "Perimeter of a polygon", mathopenref, Retrieved 15-12-2019. Edited.