طريقة حل المعادلات

طريقة حل المعادلات

علم الجبر

علم الجبر هو فرع من فروع الرياضيات، وله علاقة بالرموز ويحدد قوانين وطرق العمل على هذه الرموز والتحكم بها، وتكتب الرموز في علم الجبر الأساسي بالحروف اللاتينية والإغريقية وهي تُعَبِر عن قيم رياضية متغيرة غير ثابتة أو مجهولة، مثال: الرمز المشهور X يُعبر عن قيمة مجهولة أو متغيرة، وتمامًا كما الجمل تعبر عن العلاقات بين الكلمات المتواجدة فيها، وتُعبر المعادلات الجبرية عن العلاقات بين هذه الحروف[١].


كما يُعدّ علم الجبر أداة لحل بعض المشكلات في العديد من الحقول العلمية والعملية، وعند استعمال علم الجبر يجب تحويل المشكلة في البداية والتعبير عنها بمعادلة جبرية تتكون من رموز وأرقام، ثم استعمال طرق حل المعادلات المستحدثة في علم الجبر لحل المعادلة والحصول على الإجابات المرادة، وقد يظن البعض أن حل بعض المشكلات باستعمال قوانين علم الجبر قد يكون أكثر صعوبة من حلها دون استعمالها، لكن هذا قد ينطبق على المشكلات ذات الصعوبة المنخفضة فقط[١].


طريقة حل المعادلات

يعبر عن المسائل الرياضية باستخدام المعادلات، وتوجد العديد من الطرق التي وضعت بهدف حل المعادلات، والمقصود بحل المعادلة هو إيجاد قِيم المتغيرات التي تجعل من طرفي المعادلة يحملان القيم نفسها، أي إنَّ الطرف الأيمن من المعادلة مساوٍ للطّرف الأيسر منها، وسنسلّط الضوء حول طريقة حل المعادلات الحدوديّة، وتجدر الإشارة إلى أن مصطلح المعادلات الحدودية أو معادلات كثير الحدود هي التي تتكون من أكثر من حد واحد إذ يحتوي كل حد منها على ثابت ومتغيِّر، وفيما يأتي طريقة حل المعادلات.

حل المعادلة من الدرجة الأولى

  • تأخذ المعادلة من الدرجة الأولى الشكل الآتي: ax + b = 0.
  • يكون حل هذه المعادلة هو: (x = -b/a)، إذ إن a تمتلك أي قيمة عدا صفر.
  • مثال: لحل المعادلة (x + 5 = 10)، فإن x = 10-5 وبالتالي فإن x=5.
  • مثال آخر: لحل المعادلة (3x - 5 = 10)، فإن 3x = 10+5 وإن 3x = 15، وقسمة الطرفين على العدد 3 فإن ناتج حل المعادلة هو x=5.[٢]


حل المعادلة من الدرجة الثانية

  • تأخذ المعادلة من الدرجة الثانية الشكل التالي: ax2 + bx + c = 0.
  • لحل هذه المعادلة فإننا نوجد في البداية المميز Δ إذ إن (Δ = b2 – 4ac)، في هذه الحالة فإن للمعادلة حلين، الحل الأول يمكن حسابه من خلال المعادلة: (X1=(-b-Δ)/2a)، والحل الثاني يمكن حسابه من خلال المعادلة: (X2=(-b+Δ)/2a) .[٢]
  • مثال: لحل المعادلة x2 + 2x - 3 = 0، والمميز في هذه الحالة يساوي (Δ = 22 – 4*1*-3) وبالتالي 16، وبالتالي فإنه عند تطبيق المعادلات السابقة فإن (X1= -3) و (1 =X2)، وللتأكد من أن ذلك صحيح فإننا نعوض قيمة X1 في المعادلة السابقة بدلًا من x فإن الطرف الأيمن من المعادلة مساوٍ للطرف الأيسر فيها أو إذا عوّضنا قيمة X2 بدلًا من x فإن الطرف الأيمن من المعادلة مساوٍ للطرف الأيسر فيها أيضًا.[٢]


حل المعادلة من الدرجة الثالثة

  • تأخذ المعادلة من الدرجة الثالثة الشكل التالي: x3 + bx2 + cx + d = 0.
  • لحل المعادلة فإننا نفصلها لشقّين ثم نحل كل شق منهما على حدة، إذ إنّ الشق الأول يكون (x3 + bx2) والشق الثاني يكون (cx + d).
  • بعد ذلك نوجد العوامل المشتركة في كل شق منها، ونستخرج العوامل المشتركة ونخرجها خارج الأقواس، في حال ثبت بأن الجزأين يحتويان على العامل نفسه فإننا نضم العوامل مع بعضها.
  • مثال: لإيجاد حل المعادلة x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0، فإننا نفصلها لشقين ليكون الحل كالآتي:
    • الشق الأول هو: (x3 + 3x2)، وبأخذ العوامل المشتركة وإخراجها خارج الأقواس نصل في النهاية إلى: (x + 3) x2.
    • الشق الثاني هو: (6x - 18-)، وبأخذ العوامل المشتركة وإخراجها خارج الأقواس نصل في النهاية إلى: (x + 3) 6- .[٢]
  • في الخطوة التي تليها نضم الأقواس مع بعضها لنصل في النهاية إلى (x + 3) (x2 - 6)، وبأخذ كل قسم منها على حدة فإن حلول المعادلة تكون x = -3، و x = -6، و x = 6.
  • للتأكد من أن ذلك الحل صحيح فإننا نعوض قيمة X في المعادلة السابقة فإذا كان الحل صحيحًا فإن الطرف الأيمن من المعادلة يكون مساويًا للطرف الأيسر فيها فمثلًا إذا عوّضنا قيمة 3- بدلًا من x فإن الطرف الأيمن في المعادلة يساوي الطرف الأيسر فيها أيضًا.[٢]


تاريخ علم الجبر

أول ذكر لكلمة "الجبر" في مجال الرياضيات كانت في كتاب محمد بن موسى الخوارزمي في القرن التاسع للميلاد تحت مسمى كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، الذي عرَّف العالم أجمع بعلم الجبر، وقد ابتكره ليحلَّ بوساطته بعض المسائل الصعبة في قضايا الميراث، وكان يحتوي على العديد من طرق التعويض والمقارنة والمقابلة والحل والمعادلة[٣][١]، بالإضافة لذكره العديد من الطرق السريعة لضرب الأعداد وقسمتها، وبعد ذلك سميت هذه الطرق بالخوارزميات تشريفًا لاسمه، وانتشرت هذه الخوارزميات في كل مكان على مستوى العالم، حتى سميت في عصرنا هذا في اللغة الإنجليزية (Algorithms)، وكان الخوارزمي أول من ذكر ضرورة استعمال دائرة فارغة مكان الأعداد التي ليس لها قيمة عددية، ليكون بعد ذلك أول من اخترع الصِفْرْ وأول من ذكره في كُتُبِه[١].


كلمة الجبر مشتقة من الجذر (جَبَرَ) أي أصلحهُ أو قَوَّمَهُ، والمعنى يعود لإصلاح الكسور العددية وإكمالها، وأصبحت كلمة الجبر بعد ذلك كلمة عالمية لوصف هذا الفرع من الرياضيات، وقد أطلق عليه في اللغة الإنجليزية اسم (Algebra).[٤]


تطبيقات علم الجبر

من السهل الظن بأن علم الجبر هو مجرد علم نظري وليس له تطبيقات عملية ذات أهمية، بينما أهمية علم الجبر تكمن بالاستعاضة عن الأرقام بمجموعة من الأحرف، والذي يسهل التعامل معها كمثال: عند التفكير في إيجاد عدد عند ضربه بالرقم 7 وإضافة الرقم 3 يصبح الناتج 24، ببساطة نكتب المعادلة الآتية: (7x+3=24) ثم نطبق الطرق والأدوات اللازمة من علم الجبر لحل المعادلة والحصول على الإجابة[٥].


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث Robert Coolman (26-3-2015), "What Is Algebra?"، LIVESCIENCE, Retrieved 25-11-2019. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج "Solving Polynomial Equations", brownmath,3-11-2018، Retrieved 25-11-2019. Edited.
  3. Melissa Snell (21-4-2017), "The History of Algebra"، THOUGHTCo, Retrieved 25-11-2019. Edited.
  4. "تعريف و معنى جبر في معجم المعاني الجامع"، المعاني، اطّلع عليه بتاريخ 25-11-2019. بتصرّف.
  5. "Practical Applications of Algebra", mathscareers, Retrieved 11-25-2019.